§6.1 定积分的元素法

一 再论曲边梯形面积计算

设在区间上连续，且，求以曲线为曲边，底为的曲边梯形的面积。

1、化整为零

用任意一组分点

将区间分成 个小区间，其长度为

并记

相应地，曲边梯形被划分成个窄曲边梯形，第个窄曲边梯形的面积记为。

于是

2、以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值

3、积零为整，给出“整”的近似值

4、取极限，使近似值向精确值转化

上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：

(一)、若将分成部分区间，则相应地分成部分量，而

这表明：所求量对于区间具有可加性。

(二)、用近似，误差应是的高阶无穷小。

只有这样，和式的极限方才是精确值。

故，确定 是关键。

通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。

二、元素法

1、能用定积分计算的量，应满足下列三个条件

(1)、与变量的变化区间有关；

(2)、对于区间具有可加性；

(3)、部分量可近似地表示成。

2、写出计算的定积分表达式步骤

(1)、根据问题，选取一个变量为积分变量，并确定它的变化区间；

(2)、设想将区间分成若干小区间，取其中的任一小区间，

求出它所对应的部分量的近似值

( 为上一连续函数)

则称为量的元素，且记作。

(3)、以的元素作被积表达式，以为积分区间，得

这个方法叫做元素法，其实质是找出的元素的微分表达式

因此，也称此法为微元法。

【例1】已知闸门上水的压强(单位面积上压力的大小)是水深的函数，且。若闸门高3米，宽2米，求水面与闸门顶相齐时闸门所承受的水压力。

解：选择为积分变量，则

位于水深与 之间的闸门所承受的水压力近似地为

故

( 注：这里，是水压力元素 )